從模擬濾波器傳輸公式到數(shù)字濾波器算法轉(zhuǎn)換

信號濾波器最早都是基于模擬設(shè)計(jì)，如巴特沃斯，切比雪夫，貝塞爾濾波器。今年來由于數(shù)字系統(tǒng)的興起，越來越多的模擬濾波器被數(shù)字濾波算法所替代。然而，雖然上述模擬濾波相對過時(shí)并且相較于數(shù)字濾波難以精確設(shè)定通帶與中心頻率，但是模擬濾波設(shè)計(jì)思想相對成熟。于是使用轉(zhuǎn)換公式將模擬濾波器轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波算法，即節(jié)省了設(shè)計(jì)驗(yàn)證的時(shí)間又將經(jīng)典濾波器的設(shè)計(jì)沿襲下來。是現(xiàn)代數(shù)字濾波的一種設(shè)計(jì)思想。

由于模擬濾波器處理的信號為連續(xù)信號，其傳輸公式應(yīng)從連續(xù)信號與連續(xù)傅里葉變換的角度來考慮，于是可用以下公式來概括常見模擬濾波的傳輸

其中α與β均為輸入與反饋系數(shù)，也由此可見模擬濾波器與IIR數(shù)字濾波器具有類似形式。一個濾波系統(tǒng)不單可由上式的濾波系數(shù)來描述，還可從沖擊響應(yīng)的角度來描述。如下式

其中h(t)為一輸入信號的時(shí)間域表示，H(s)為此信號的頻域表示，兩者通過連續(xù)信號傅里葉變換進(jìn)行聯(lián)結(jié)。最后，一個模擬濾波器的系數(shù)方程還可表示為時(shí)間域方程。如下式

由上式，在時(shí)域表示上，模擬濾波也與數(shù)字濾波的形式類似?；谏厦嫒齻€公式可使用三種方法對模擬濾波器公式進(jìn)行變換：導(dǎo)數(shù)不變法，沖擊不變法，和雙線性變換。其中沖擊不變法與雙線性變換使用較多。

如使用沖擊不變法對一模擬濾波器進(jìn)行變換。假設(shè)此濾波器具有以下傳輸公式

從上式中可發(fā)現(xiàn)極點(diǎn)為p=-0.1±3j,于是上式可拆分為

假設(shè)一數(shù)字系統(tǒng)的采樣周期為T，則可寫出以下等效數(shù)字濾波算法確保極點(diǎn)相同

合并后為

一個模擬系統(tǒng)還可使用雙線性方法進(jìn)行變化，如一個一階模擬濾波器具有以下公式

其中Ω_c為3dB帶寬。假設(shè)對應(yīng)的數(shù)字濾波器具有0.2π的2dB帶寬，則可建立以下聯(lián)系。

由上式可見Ω_c與采樣周期T的聯(lián)系，于是將上式代回可發(fā)現(xiàn)

使用雙線性變換公式

可變換為